Аныкталбаган интеграл

Аныкталбаган интеграл — белгилүү аймакта берилген $f(x)\,$ функциясынын бардык $F(x)+c\,$ түрүндөгү баштапкы функцияларынын жыйындысы. $F(x)+c=\,$ түрүндөгү интеграл. Мында ∫ символу интеграл белгиси, $f(x)-\,$ интеграл астындагы функция, $f(x) dx\,$ — интеграл астындагы туюнтма, $F(x)\,$ функциясы $f(x)\,$ функциясынын баштапкы функциясы, C — туруктуу чоңдук.

$d\left (\int f(x)dx \right ) = f(x) dx$

$\int d(F(x)) = F(x)+C$

$\int a \cdot f(x) dx = a \cdot \int f(x)dx$

$\int (f(x) \pm g(x))dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$

Эгерде $\int f(x) dx = F(x) + C$, то и $\int f(u) du = F(u)+C$, бу жерде $u = \varphi (x)$ — үзгүлтүксүз туундуга ээ эркин функция.

Дифференциал белгисине алып келүү

Дифференциал белгисине алып келүүдө төмөндөгүдөй касиеттер колдонулулат:

$du=d(u+C)\,$

$du = {1 \over a} d(au)$

$f'(u) \cdot du = d(f(u))$

Интеграциялоонун негизги жолдору

1. Жаңы аргументти киргизүү методу Эгерде

$\int g(x) dx = G(x) + C, \,$

анда

$\int g(u) du = G(u) + C, \,$

бул жерде $u = \varphi (x) \,$ — туруктуу дифференцияланычуу функция.

2. Ажыратуу методу. Эгерде

$g(x)= g_1(x) + g_2(x), \,$

анда

$\int g(x) dx = \int g_1(x) dx + \int g_2(x)dx. \,$

3. Алмаштыруу (ордуна койуу)методу.

Эгерде $g(x)\,$ — үзгүлтүксүз болсо, анда

$x = \varphi (t), \,$ деген божомолдон алабыз,

бул жерде $\varphi (t) \,$ туундусу менен бирге үзгүлтүксүз болсо $\varphi' (t) \,$, алабыз

$\int g(x) dx = \int g(\varphi (t))\varphi' (t) dt. \,$

4. Бөлүп интеграциялоо методу.

Эгерде $u\,$ жана $v\,$ — $x\,$ кээ бир дифференциялануучу функциялары, анда

$\int u dv = uv - \int v du. \,$

Аныкталбаган интегралдардын жадыбалы

$\int 0 \cdot dx = C ; \,$

$\int 1 \cdot dx = x + C ; \,$

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \,$ $(n \ne -1); \,$

$\int \frac{1}{x} dx = \ln \mid x \mid + C ; \,$

$\int e^x dx = e^x + C ; \,$

$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C, \,$ $(a>0, a \ne 1); \,$

$\int \cos x \, dx = \sin x + C ; \,$

$\int \sin x \, dx = - \cos x + C ; \,$

$\int \frac {dx}{\cos^2 x} = \mathrm{tg}\, x + C ; \,$

$\int \frac {dx}{\sin^2 x} = - \mathrm{ctg}\, x + C ; \,$

$\int \frac {dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C = - \arccos x + C' (C' = \frac {\pi}{2} + C); \,$

$\int \frac {dx}{1+x^2} = \mathrm{arctg}\, x + C; \,$

$\int \mathrm{ch}\, x dx = \mathrm{sh}\, x + C; \,$

$\int \mathrm{sh}\, x dx = \mathrm{ch}\, x + C; \,$

Ар бир теңдеменин сол жагында интегралдын астындагы тийиштүү функциясы үчүн берилген эркин (аныкталган) баштапкы функция турат, оң жагында - функциялар арасындага теңдик аткарылышы үчүн бир аныкталган баштапкы функция жана $C \,$ константасы берилген.

Бул формуладагы баштапкы функциялар тийиштүү аймактагы интеграл астындагы функциялар үчүн аныкталган жана үзгүлтүксүз. Бул мыйзам ченемдүүлүк кокусунан эмес: жогоруда айтылгандай, аймактагы үзгүлтүксүз функция ал жерде үзгүлтүксүз жөнөкөйгө ээ.

Колдонулган адабияттар

• Математика: энциклопедиялык окуу куралы/ Мамлекеттик тил жана энциклопедия борбору. Бишкек, - 2004