Интегралдык эсептөө

Интегралдык эсептөө – математиканын бир бөлүмү; интегралдын касиетин, аны эсептөө жолун, түрдүү математикалык жана физикалык маселелерди чыгарууда колдонулушун изилдейт. Ал дифференциал эсептөөлөру менен тыгыз байланышта жана математикалык анализдин негизги бөлүмүн түзөт. Интегралдык эсептөөнүн келип чыгышы аянттарды жана көлөмдөрдү эсептөөгө байланыштуу. Мындай бир катар маселелерди байыркы грек математиктери (Евдокс Книдский, Архимед жана башкалар) чечишкен. Мындай маселелерге кызыгуу Европада 1617-кылымда башталган. Бул мезгилде Интегралдык эсептөөнүн калыптанышына жана өнүгүшүнө немис И. Кеплер, италян Б. Кавальери, англис Ж. Валлис, француздар Э. Торричелли, Б. Паскаль, П. Ферма, голланд X. Гюйгенс өңдүү математиктер салым кошкон. Интегралдык эсептөөнүн өнүгүшүнө И. Ньютон менен немис математиги Г. Лейбництин эмгектери таасир тийгизген. Алар интегралдык эсептөөнүн негизги түшүнүктөрүн жана алгоритмин өз алдынча түзүшкөн. «Интегралдык эсептөө» термини жана интегралдын белгилениши Лейбницке таандык. Интегралдык эсептөөнүн негизги түшүнүктөрү өз ара байланышкан аныкталбаган интеграл жана аныкталган интеграл. Аныкталбаган интеграл дифференциалдоого тескери амал. Эгер дифференциал эсептөөлөрүндө белгилүү функция боюнча анын туундусу табылса, ал эми интегралдык эсептөөдө тескери функциянын туундусу боюнча ал функциянын баштапкы түрү аныкталат. Аныкталбаган интеграл үчүн жетиштүү шарт берилген аралыкта функциясынын үзгүлтүксүздүгү. Интегралдоо менен дифференциалдоо амалдарынын өз ара бири бирине өтүшү dJf(x)dx=f(x)dx; JdF(x)=F(x)+C барабардыктары менен туюнтулат. Мындан дифференциалдоонун формулалары менен эрежелеринен интегралдоонун тиешелүү формулалары жана эрежелери алынат. $\int {x}^{m}{\mathit {dx}}={\frac {{x}^{m+1}}{m+1}}+C,a\neq 1;\int {\frac {\mathit {dx}}{x}}=\ln \vee x\vee +C$, $\int {a}^{x}{\mathit {dx}}={\frac {{a}^{x}}{\mathit {lna}}}+C,a>1;{a}^{x}={e}^{x}$ болсо, $\int {a}^{x}{\mathit {dx}}={e}^{x}+C;\int {\mathit {sinxdx}}=-{\mathit {cosx}}+C;$ $\int {\mathit {cosxdx}}={\mathit {sinx}}+C;\int {\frac {\mathit {dx}}{{\cos }^{2}x}}={\mathit {tgx}}+C;$ $\int {\frac {\mathit {dx}}{{\sin }^{2}x}}=-{\mathit {ctgx}}+C;\int {\frac {\mathit {dx}}{1+{x}^{2}}}={\mathit {arctgx}}+C;$ $\int {\frac {\mathit {dx}}{\sqrt {1-{x}^{2}}}}={\mathit {arcsinx}}+C;\int \left\lbrack {f}_{1}\left(x\right)+{f}_{2}\left(x\right)\right\rbrack {\mathit {dx}}=\int {f}_{1}\left(x\right){\mathit {dx}}\pm \int {f}_{2}\left(x\right){\mathit {dx}};\int {\mathit {kf}}\left(x\right){\mathit {dx}}=k\int f\left(x\right){\mathit {dx}},$ k туруктуу сан ; $\int {\mathit {udv}}={\mathit {uv}}-\int {\mathit {udv}}$ (бөлүктөп интегралдоо формуласы); эгерде x = $\phi$(t) болсо, анда dx = $\phi$'(t)dt жана $\int f\left(x\right){\mathit {dx}}=\int \left\lbrack f\left(\phi \left(t\right)\right)\right\rbrack \bullet \phi {\text{'}}\left(t\right){\mathit {dt}}$ (өзгөрмөнү алмаштыруу формуласы). Аныкталган интеграл интегралдоонун жогорку пределинен функция болуучу интегралдын алдындагы функциянын баштапкы функцияларынын бири. Ал ${\underset {a}{\overset {b}{\int }}}f\left(x\right){\mathit {dx}}$ түрүндө аныкталат. Бул интегралдын бир түрү Коши интегралы. Аныкталган интегралдын геометриялык мааниси аянт түшүнүгү менен байланыштуу. Фигура менен беттин аянтын, нерсенин көлөмүн, оордук борборунун координаталарын жана башкаларды эсептөө менен аныкталган интеграл табылат. [a, b] кесиндисинде үзгүлтүксүз функциядан алынган аныкталган интеграл ал функциянын баштапкы функциясынын кесиндинин учтарындагы маанилеринин айырмасына барабар, башкача айтканда ${\underset {a}{\overset {b}{\int }}}f\left(x\right){\mathit {dx}}$ = F(b) – F(a) (Ньютон-Лейбниц формуласы). Аныкталган интеграл аныкталбаган интегралдын формулалары жана эрежелери менен эсептелет. Интегралдык эсептөө математиканын көп бөлүмдөрүндө (дифференциал жана интеграл теңдемелери теориясында, ыктымалдык теориясында жана математикалык статистикада, оптималдык процесстер теориясында жана башкалар) жана анын колдонмолорунда пайдаланылат. Ньютондун эмгектеринде аныкталбаган интеграл жөнүндөгү түшүнүк, ал эми Лейбництин эмгектеринде аныкталган интеграл жөнүндөгү түшүнүктөр негизги ролду ойногон. Интегралдык эсептөөнүн андан аркы өнүгүшү 18-кылымда швейцариялык математик И. Бернулли, фр. математик Ж. Лагранж жана өзгөчө Л. Эйлердин ысымы менен байланыштуу. 19-кылымда интегралдык эсептөөнү өнүктүрүүгө О. Коши, немис математиги Б. Риман, орус математиктери М. В. Остроградский, В. Я. Буняковский, П. Л. Чебышевдер салым кошкон. 19-кылымдын аягы 20-кылымдын башында көптүктөр теориясынын жана чыныгы өзгөрмөлүү функциялар теориясынын өнүгүшү интегралдык эсептөөнүн негизги түшүнүктөрүн тереңдетүүгө жана жалпылоого алып келди.

Колдонулган адабияттар

• “Кыргызстан” улуттук энциклопедиясы: 3-том. Башкы редактору Асанов Ү. А. К 97. Б.: Мамлекеттик тил жана энциклопедия борбору, 2011. 784 бет, илл. ISBN 978 9967-14-074 -5