Лопиталдын Эрежеси

Лопитал теоремасы (же Бернулли — Лопитал эрежеси^[1]) — табуу ыкмасы функциянын чектери, белгисиздикти ачыкка чыгаруу түрү $0/0$ жана $\infty /\infty$ . Методду негиздеген теоремада белгилүү бир шарттарда функциялардын катышынын чеги алардын туундуларынын катышынын чегине барабар болот деп айтылат.

Так сөз

Лопитал теоремасы:

Эгерде: $f(x),\,g(x)$ тешилген аймакта дифференциалдануучу реалдуу баалуу функциялар $U$ упайлар $a$ , кайда $a$ — чыныгы сан же символдордун бири $+\infty ,-\infty ,\infty$ , жана

$\lim _{x\to a}{f(x)}=\lim _{x\to a}{g(x)}=0$ же $\infty$ ;
$g'(x)\neq 0$ - жылы $U$ ;
бар $\lim \limits _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ ;

ошондо бар $\lim \limits _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim \limits _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ .

Чектер бир тараптуу болушу мүмкүн.

Тарых

Мындай белгисиздикти жоюунун жолу 1696-жылы «Analyse des Inﬁniment Petits» окуу китебинде авторлуктун артында жарыяланган Гийома Лопитала. Методду Лопиталга катында ачкан адам билдирген Иоганн Бернулли^[2].

Мисалдар

$\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}+5x}{3x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2x+5}{3}}={\frac {5}{3}}$

$\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{3}+4x^{2}+7x+9}{x^{3}+3x^{2}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {3x^{2}+8x+7}{3x^{2}+6x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {6x+8}{6x+6}}={\frac {6}{6}}=1$
Бул жерде Лопитал эрежесин 3 жолу колдонсоңуз болот, бирок башкача кылсаңыз болот. Алымды да, бөлүүчүнү да бөлүү керек $x$ эң жогорку деңгээлде(биздин учурда $x^{3}$ ). Бул мисалда алынган:
$\lim _{x\to \infty }{\frac {1+4/x+7/x^{2}+9/x^{3}}{1+3/x}}={\frac {1}{1}}=1$
$\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{x^{a}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{a\cdot x^{a-1}}}=\ldots =\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{a!}}=+\infty$ — эрежени колдонуу $a$ жолу;
$\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{a}}{\ln {x}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {ax^{a-1}}{\frac {1}{x}}}=a\cdot \lim _{x\to +\infty }{x^{a}}=+\infty$ учурда $a>0$ ;
$\lim _{x\to +\infty }{\frac {\int \limits _{x}^{+\infty }e^{-t^{2}}dt}{x^{-1}e^{-x^{2}}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {-e^{-x^{2}}}{-x^{-2}e^{-x^{2}}(1+2x^{2})}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{2}}{1+2x^{2}}}={\frac {1}{2}}$ .

Кээ бир учурларда, Лопитал эрежеси күтүлгөн натыйжаны бербеши мүмкүн, анткени туунду мамилелердин чектеринин болушу $\lim \limits _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ функциялардын өз ара катышы боюнча чектин болушунан келип чыкпайт.

Мисал ^[3] :

мамиле

{\frac {x+\sin(x)}{x}}

чексиздиктин чеги бар (бирдик), бирок туундулардын катышында чек жок.

Натыйжа

Лопитал эрежесинин жөнөкөй, бирок пайдалуу натыйжасы — функциялардын дифференциалдануу белгиси төмөнкүлөрдөн турат:

Функция болсун $f(x)$ тешилген кварталда айырмаланат чекит $a$ , жана ушул учурда, ал үзгүлтүксүз жана туунду чеги бар $\lim _{x\to a}f'(x)=A$ . Анда функция $f(x)$ дифференциалдуу жана өзүндө $a$ , жана $f'(a)=A$ (анда, туунду $f'(x)$ үзгүлтүксүз $a$ ).