Аныкталбаган интеграл

Аныкталбаган интеграл — белгилүү аймакта берилген $f(x)\,$$f(x)\,$ функциясынын бардык $F(x)+c\,$$F(x)+c\,$ түрүндөгү баштапкы функцияларынын жыйындысы. $F(x)+c=\,$$F(x)+c=\,$ түрүндөгү интеграл. Мында ∫ символу интеграл белгиси, $f(x)-\,$$f(x)-\,$ интеграл астындагы функция, $f(x)dx\,$$f(x)dx\,$ — интеграл астындагы туюнтма, $F(x)\,$$F(x)\,$ функциясы $f(x)\,$$f(x)\,$ функциясынын баштапкы функциясы, C — туруктуу чоңдук.

$d\left(\int f(x)dx\right)=f(x)dx$$d\left(\int f(x)dx\right)=f(x)dx$

$\int d(F(x))=F(x)+C$$\int d(F(x))=F(x)+C$

$\int a\cdot f(x)dx=a\cdot \int f(x)dx$$\int a\cdot f(x)dx=a\cdot \int f(x)dx$

$\int (f(x)\pm g(x))dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$$\int (f(x)\pm g(x))dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$

Эгерде $\int f(x)dx=F(x)+C$$\int f(x)dx=F(x)+C$, то и $\int f(u)du=F(u)+C$$\int f(u)du=F(u)+C$, бу жерде $u=\varphi (x)$$u=\varphi (x)$ — үзгүлтүксүз туундуга ээ эркин функция.

Дифференциал белгисине алып келүү

Дифференциал белгисине алып келүүдө төмөндөгүдөй касиеттер колдонулулат:

$du=d(u+C)\,$$du=d(u+C)\,$

$du={1 \over a}d(au)$$du={1 \over a}d(au)$

$f'(u)\cdot du=d(f(u))$$f'(u)\cdot du=d(f(u))$

Интеграциялоонун негизги жолдору

1. Жаңы аргументти киргизүү методу Эгерде

$\int g(x)dx=G(x)+C,\,$$\int g(x)dx=G(x)+C,\,$

анда

$\int g(u)du=G(u)+C,\,$$\int g(u)du=G(u)+C,\,$

бул жерде $u=\varphi (x)\,$$u=\varphi (x)\,$ — туруктуу дифференцияланычуу функция.

2. Ажыратуу методу. Эгерде

$g(x)=g_{1}(x)+g_{2}(x),\,$$g(x)=g_{1}(x)+g_{2}(x),\,$

анда

$\int g(x)dx=\int g_{1}(x)dx+\int g_{2}(x)dx.\,$$\int g(x)dx=\int g_{1}(x)dx+\int g_{2}(x)dx.\,$

3. Алмаштыруу (ордуна койуу)методу.

Эгерде $g(x)\,$$g(x)\,$ — үзгүлтүксүз болсо, анда

$x=\varphi (t),\,$$x=\varphi (t),\,$ деген божомолдон алабыз,

бул жерде $\varphi (t)\,$$\varphi (t)\,$ туундусу менен бирге үзгүлтүксүз болсо $\varphi '(t)\,$$\varphi '(t)\,$, алабыз

$\int g(x)dx=\int g(\varphi (t))\varphi '(t)dt.\,$$\int g(x)dx=\int g(\varphi (t))\varphi '(t)dt.\,$

4. Бөлүп интеграциялоо методу.

Эгерде $u\,$$u\,$ жана $v\,$$v\,$ — $x\,$$x\,$ кээ бир дифференциялануучу функциялары, анда

$\int udv=uv-\int vdu.\,$$\int udv=uv-\int vdu.\,$

Аныкталбаган интегралдардын жадыбалы

$\int 0\cdot dx=C;\,$$\int 0\cdot dx=C;\,$

$\int 1\cdot dx=x+C;\,$$\int 1\cdot dx=x+C;\,$

$\int x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\,$$\int x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\,$ $(n\neq -1);\,$$(n\neq -1);\,$

$\int {\frac {1}{x}}dx=\ln \mid x\mid +C;\,$$\int {\frac {1}{x}}dx=\ln \mid x\mid +C;\,$

$\int e^{x}dx=e^{x}+C;\,$$\int e^{x}dx=e^{x}+C;\,$

$\int a^{x}dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C,\,$$\int a^{x}dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C,\,$ $(a>0,a\neq 1);\,$$(a>0,a\neq 1);\,$

$\int \cos x\,dx=\sin x+C;\,$$\int \cos x\,dx=\sin x+C;\,$

$\int \sin x\,dx=-\cos x+C;\,$$\int \sin x\,dx=-\cos x+C;\,$

$\int {\frac {dx}{\cos ^{2}x}}=\mathrm {tg} \,x+C;\,$$\int {\frac {dx}{\cos ^{2}x}}=\mathrm {tg} \,x+C;\,$

$\int {\frac {dx}{\sin ^{2}x}}=-\mathrm {ctg} \,x+C;\,$$\int {\frac {dx}{\sin ^{2}x}}=-\mathrm {ctg} \,x+C;\,$

$\int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\arcsin x+C=-\arccos x+C'(C'={\frac {\pi }{2}}+C);\,$$\int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\arcsin x+C=-\arccos x+C'(C'={\frac {\pi }{2}}+C);\,$

$\int {\frac {dx}{1+x^{2}}}=\mathrm {arctg} \,x+C;\,$$\int {\frac {dx}{1+x^{2}}}=\mathrm {arctg} \,x+C;\,$

$\int \mathrm {ch} \,xdx=\mathrm {sh} \,x+C;\,$$\int \mathrm {ch} \,xdx=\mathrm {sh} \,x+C;\,$

$\int \mathrm {sh} \,xdx=\mathrm {ch} \,x+C;\,$$\int \mathrm {sh} \,xdx=\mathrm {ch} \,x+C;\,$

Ар бир теңдеменин сол жагында интегралдын астындагы тийиштүү функциясы үчүн берилген эркин (аныкталган) баштапкы функция турат, оң жагында - функциялар арасындага теңдик аткарылышы үчүн бир аныкталган баштапкы функция жана $C\,$$C\,$ константасы берилген.

Бул формуладагы баштапкы функциялар тийиштүү аймактагы интеграл астындагы функциялар үчүн аныкталган жана үзгүлтүксүз. Бул мыйзам ченемдүүлүк кокусунан эмес: жогоруда айтылгандай, аймактагы үзгүлтүксүз функция ал жерде үзгүлтүксүз жөнөкөйгө ээ.

Колдонулган адабияттар

• Математика: энциклопедиялык окуу куралы/ Мамлекеттик тил жана энциклопедия борбору. Бишкек, - 2004