Аныкталбаган интеграл

Wikipedia дан

Аныкталбаган интеграл — белгилүү аймакта берилген f(x)\, функциясынын бардык F(x)+c\, түрүндөгү баштапкы функцияларынын жыйындысы. F(x)+c=\, түрүндөгү интеграл. Мында символу интеграл белгиси, f(x)-\, интеграл астындагы функция, f(x) dx\, — интеграл астындагы туюнтма, F(x)\, функциясы f(x)\, функциясынын баштапкы функциясы, C — туруктуу чоңдук.


d\left (\int f(x)dx \right ) = f(x) dx
\int d(F(x)) = F(x)+C
\int a \cdot f(x) dx = a \cdot \int f(x)dx
\int (f(x) \pm g(x))dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx
Эгерде \int f(x) dx = F(x) + C, то и \int f(u) du = F(u)+C, бу жерде u = \varphi (x) — үзгүлтүксүз туундуга ээ эркин функция.

Дифференциал белгисине алып келүү[оңдоо]

Дифференциал белгисине алып келүүдө төмөндөгүдөй касиеттер колдонулулат:

du=d(u+C)\,
du = {1 \over a} d(au)
f'(u) \cdot du = d(f(u))

Интеграциялоонун негизги жолдору[оңдоо]

1. Жаңы аргументти киргизүү методу Эгерде

\int g(x) dx = G(x) + C, \,

анда

\int g(u) du = G(u) + C, \,

бул жерде u = \varphi (x) \, — туруктуу дифференцияланычуу функция.


2. Ажыратуу методу. Эгерде

g(x)= g_1(x) + g_2(x), \,

анда

\int g(x) dx = \int g_1(x) dx + \int g_2(x)dx. \,


3. Алмаштыруу (ордуна койуу)методу.

Эгерде g(x)\, — үзгүлтүксүз болсо, анда

x = \varphi (t), \, деген божомолдон алабыз,

бул жерде \varphi (t) \, туундусу менен бирге үзгүлтүксүз болсо \varphi' (t) \,, алабыз

\int g(x) dx = \int g(\varphi (t))\varphi' (t) dt. \,


4. Бөлүп интеграциялоо методу.


Эгерде u\, жана v\, — x\, кээ бир дифференциялануучу функциялары, анда

\int u dv = uv - \int v du. \,

Аныкталбаган интегралдардын жадыбалы[оңдоо]

\int 0 \cdot dx = C ; \,
\int 1 \cdot dx = x + C ; \,
\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C  \,  (n \ne -1); \,
\int \frac{1}{x} dx = \ln \mid x \mid + C ; \,
\int e^x dx = e^x + C ; \,
\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C, \,  (a>0, a \ne 1); \,
\int \cos x \, dx = \sin x + C ; \,
\int \sin x \, dx = - \cos x + C ; \,
\int \frac {dx}{\cos^2 x} = \mathrm{tg}\, x + C ; \,
\int \frac {dx}{\sin^2 x} = - \mathrm{ctg}\, x + C ; \,
\int \frac {dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C = - \arccos x + C' (C' = \frac {\pi}{2} + C); \,
\int \frac {dx}{1+x^2} = \mathrm{arctg}\, x + C; \,
\int \mathrm{ch}\, x dx = \mathrm{sh}\, x + C; \,
\int \mathrm{sh}\, x dx = \mathrm{ch}\, x + C; \,

Ар бир теңдеменин сол жагында интегралдын астындагы тийиштүү функциясы үчүн берилген эркин (аныкталган) баштапкы функция турат, оң жагында - функциялар арасындага теңдик аткарылышы үчүн бир аныкталган баштапкы функция жана C \, константасы берилген.

Бул формуладагы баштапкы функциялар тийиштүү аймактагы интеграл астындагы функциялар үчүн аныкталган жана үзгүлтүксүз. Бул мыйзам ченемдүүлүк кокусунан эмес: жогоруда айтылгандай, аймактагы үзгүлтүксүз функция ал жерде үзгүлтүксүз жөнөкөйгө ээ.

Колдонулган адабияттар[оңдоо]

  • Математика: энциклопедиялык окуу куралы/ Мамлекеттик тил жана энциклопедия борбору. Бишкек, - 2004